Краткий ответ: как правильно?

Пишется:

• разыскивать (всегда через «а» в приставке).
• розыск (всегда через «о» в корне).

Почему «разыскивать» пишется с «а»?

Ключевое правило: в приставке раз-/рас-, безударной позиции пишется гласная «а».

• приставка раз- никогда не ставится под ударение;
• ударение падает на второй слог: разыскивать.

Примеры

• разыскать, разыскивают, разыскиваемый;
• расписать, разбить, разделить.

Почему «розыск» пишется с «о»?

Здесь другое правило: в корне ударение падает на первый слог.

• ударение: рОзыск;
• корень розыск- не является приставкой, поэтому в орфографии действует фонетический принцип: «о» под ударением сохраняется.

• объявить розыск;
• оперативно-розыскной мероприятие;
• следственно-розыскной отдел.

Морфемный разбор слова «разыскивать»

Проверочные слова и запоминание

Чтобы быстро запомнить, используйте пару:

• розыск (ударение на «о») → разыскивать (безударная приставка → «а»).

Распространённые ошибки и как их избежать

1. Ошибка: «розыскивается».
   Правильно: разыскивается (приставка без ударения).
2. Ошибка: «оперативно-разыскной».
   Правильно: оперативно-розыскной (прилагательное образовано от «розыск», где ударение на «о»).
3. Ошибка: «отправиться на разыски».
   Правильно: отправиться на розыски.

• раз-/рас- — пишем «а» без ударения.
• роз-/рос- — пишем «о» под ударением.
• Проверяйте ударение: рОзыск, но разыскать.