Корень n-й степени из числа — это такое число, которое при возведении в степень n даёт исходное значение. В русскоязычной математической традиции под «розыском» (от старославянского «ыскати») понимается процесс нахождения всех значений корня. Для действительных чисел существует не более одного неотрицательного значения, тогда как для комплексных чисел корень имеет ровно n различных значений.
Что такое «корень» и как его обозначают
Определение. Корень n-й степени из числа a — это решение уравнения
zn = a.
Базовое обозначение:
√[n]{a} или a1/n.
- Если a ≥ 0 и n — чётное число, то существует два действительных корня: ±√[n]{a}.
- Если a < 0 и n — чётное число, то среди действительных корней решений нет (переходим к комплексным).
- Если n — нечётное, то корень единственный и имеет тот же знак, что и a.
Тригонометрическая форма и формула Муавра
Для комплексного числа z = r · (cos φ + i sin φ) все n значений корня выражаются через формулу Муавра:
√[n]{z}k = r1/n · [ cos( (φ + 2πk)/n ) + i · sin( (φ + 2πk)/n ) ],
где k = 0, 1, 2, …, n-1.
Пример 1. Квадратный корень из −1
- Представим −1 в тригонометрической форме: r = 1, φ = π;
- По формуле Муавра при k = 0, 1 получаем два значения:
√(−1)0 = cos(π/2) + i sin(π/2) = i
√(−1)1 = cos(3π/2) + i sin(3π/2) = −i
Алгоритм извлечения квадратного корня из действительного числа
Для числа N без калькулятора применяют пошаговый «школьный» алгоритм, напоминающий деление столбиком:
- Разбиваем N на группы по две цифры справа налево.
- Находим наибольшее число, квадрат которого ≤ первой группы, это первая цифра корня.
- Вычитаем квадрат найденной цифры, «опускаем» следующую группу.
- Двойным найденным корнем делим новое число и выбираем следующую цифру.
- Повторяем до нужной точности.
Пример 2. √138 384 = 372
| Шаг | Действие | Результат |
|---|---|---|
| 1 | Группы | 13 83 84 |
| 2 | √13 → 3 | 32=9, остаток 4 |
| 3 | 483 ÷ 60 ≈ 7 | 67×7=469, остаток 14 |
| 4 | 1484 ÷ 740 ≈ 2 | 742×2=1484, остаток 0 |
Корень из корня и дробей
- √[m]{√[n]{a}} = √[mn]{a} — показатели перемножаются.
- √(a/b) = √a / √b — корень из дроби равен частному корней.
Памятка «Розыск правило корень» на одном экране
Кратко
- Для комплексных чисел используй тригонометрическую форму и формулу Муавра.
- Для действительных положительных чисел применяй алгоритм столбиком.
- Для действительных отрицательных чисел при n чётном переходи в комплексную плоскость.
- Запомни: √[n]{z} имеет n значений ↔ √[n]{a} (a∈ℝ) имеет 1 или 2 значения в зависимости от чётности n.
Следуя этим правилам, вы без труда «разыщете» любой корень, будь то действительный или комплексный.
Дата публикации: